entgehen würde, erkennen können. Außer diesen allgemeinen Prinzipien oder Axiomen bestehen die übrigen Prämissen der Geometrie aus sogenannten Definitionen, d.h. aus Urteilen, welche die wirkliche Existenz der verschiedenen, in ihnen bezeichneten Gegenstände, samt irgend einer Eigenschaft eines jeden behaupten. In einigen Fällen nimmt man gewöhnlich mehr als eine Eigenschaft an, aber in keinem Falle ist mehr als eine notwendig. Man nimmt an, es gebe in der Natur Dinge, wie gerade Linien, und zwei solcher von demselben Punkte ausgehender Linien divergierten mehr und mehr d.i. ohne Grenze. Diese Annahme (welche Euclids Axiom, dass zwei gerade Linien keinen Raum einschließen können, enthält und noch über dasselbe hinaus geht) ist in der Geometrie ebenso unentbehrlich, und, da sie auf einer ebenso einfachen, geläufigen und allgemeinen Erfahrung beruht, ebenso evident als die anderen Axiome. Man nimmt auch an, dass gerade Linien in verschiedenen Graden von einander divergieren; mit anderen Worten, dass es Dinge gebe wie Winkel, und dass sie fähig seien, gleich oder ungleich zu sein. Man nimmt an, es gebe ein Ding wie einen Kreis, und alle seine Halbmesser seien einander gleich; es gebe Dinge wie Ellipsen, und die Summe der Fokaldistanzen für einen jeden Punkt der Ellipse sei dieselbe; es gebe Dinge wie parallele Linien, und diese Linien seien überall gleichweit von einander entfernt.147 . 8. Es ist etwas mehr als ein bloßer Gegenstand der Neugierde, zu betrachten, welcher Eigentümlichkeit der physikalischen Wahrheiten, die den Gegenstand der Geometrie bilden, es zuzuschreiben ist, dass sie alle von einer so kleinen Anzahl von ursprünglichen Prämissen abgeleitet werden können; warum wir von nur einer einzigen charakteristischen Eigenschaft einer jeden Art von Phänomen ausgehen, und mit dieser und zwei oder drei allgemeinen, sich auf Gleichheit beziehenden Wahrheiten von Merkmal zu Merkmal gehen können, bis wir ein weites Gebäude von abgeleiteten Wahrheiten errichtet haben, die dem Anschein nach von jenen elementaren Wahrheiten sehr verschieden sind. Die Erklärung dieser bemerkenswerten Tatsache scheint in den folgenden Umständen zu liegen. Zuvörderst können alle Fragen über Lage und Gestalt in Fragen über die Größe verwandelt werden. Die Lage und die Figur eines Gegenstandes wird bestimmt, indem man die Lage einer hinreichenden Anzahl von Punkten in ihm bestimmt, und die Lage eines Punktes kann durch die Größe dreier rechtwinkliger Koordinaten oder Senkrechten, welche man von dem Punkte auf drei zu einander rechtwinklige und willkürlich gewählte Achsen fällt, bestimmt werden. Durch diese Verwandlung aller Fragen der Qualität in bloße Fragen der Quantität, wird die Geometrie auf die einfache Aufgabe von der Messung von Größen, d.h. auf die Bestimmung der zwischen ihnen bestehenden Gleichheiten zurückgeführt. Wenn wir nun bedenken, dass durch eines dieser allgemeinen Axiome eine