Wahrheiten. Es ist wahr, dass sogar diese von gleichem Umfang wie die Natur sind; die Eigenschaften der Zahl vier sind von allen Gegenständen wahr, welche sich in vier gleiche Theile teilen lassen, und alle Gegenstände sind wirklich oder ideell auf diese Weise teilbar. Aber die Urteile, welche die Algebra bilden, sind nicht von einer besonderen Zahl, sondern von allen Zahlen wahr; nicht von allen Dingen, unter der Bedingung, dass sie in einer besonderen Weise geteilt werden, sondern von allen Dingen unter der Bedingung, dass sie in irgend einer Weise geteilt werden, dass sie überhaupt durch eine Zahl bezeichnet werden. Da es unmöglich ist, dass verschiedene Zahlen irgend eine ihrer Bildungsweisen vollständig gemein haben, so sieht es wie ein Paradoxon aus zu sagen, alle Urteile, welche in Beziehung auf Zahlen aufgestellt werden können, bezögen sich auf deren Bildungsweise aus anderen Zahlen, und es gäbe demnach Urteile, welche von allen Zahlen wahr sind. Aber gerade dieses Paradoxon führt zu dem wirklichen Prinzip der Generalisation in Betreff der Eigenschaften der Zahlen. Zwei verschiedene Zahlen können nicht in derselben Weise aus denselben Zahlen gebildet werden; aber sie können in derselben Weise von verschiedenen Zahlen gebildet werden, wie z.B. neun aus drei gebildet wird, indem man letzteres mit sich selbst multipliziert, und wie sechszehn gebildet wird, indem man ganz dasselbe mit vier vornimmt. Auf diese Weise entsteht eine Klassifikation der Bildungsweisen, oder, in der von den Mathematikern gewöhnlich gebrauchten Sprache, eine Klassifikation der Funktionen. Eine jede Zahl, die betrachtet wird als von einer andern Zahl gebildet, wird eine Funktion derselben genannt, und es gibt so viele Arten von Funktionen, als es Bildungsweisen gibt. Die einfachen Funktionen sind keineswegs zahlreich, indem die meisten Funktionen durch die Vereinigung verschiedener von den Operationen, welche einfache Funktion bilden, oder durch die sukzessive Wiederholung einer dieser Operationen gebildet worden, Die einfachen Funktionen irgend einer Zahl x sind alle auf die folgenden Formen zurückführbar: x+a, x-a, a·x, x/a, xa, ax, log x (mit der Basis a) und dieselben Ausdrücke variiert, indem a für x und x für a überall gesetzt wird, wo eine dieser Substitutionen den Werth verändern würde; hierzu müssen wir vielleicht noch hinzufügen sin x und arc (sin = x). Alle anderen Funktionen von x werden gebildet, indem man eine oder mehrere der einfachen Funktionen an die Stelle von x oder a setzt, und sie denselben elementaren Operationen unterwirft. Um allgemeine Schlüsse in Beziehung auf Funktionen ziehen zu können, bedürfen wir einer Nomenklatur, welche uns in den Stand setzt, irgend zwei Zahlen durch Namen auszudrücken, welche zeigen, welche Funktion eine jede von der andern ist, ohne