sie exacte Wissenschaften? Warum sind ma- thematische Gewissheit und die Evidenz der Demon- stration Ausdr�cke, um den h�chsten Grad der von der Vernunft erreichbaren Gewissheit zu bezeichnen? Warum werden die Mathematik von allen Philoso- phen, und (von vielen) sogar diejenigen Zweige der Naturwissenschaften, welche durch die Mathematik in deductive Wissenschaften verwandelt wurden, als unabh�ngig von dem Beweis durch Erfahrung und Beobachtung betrachtet, und als Systeme von noth- wendigen Wahrheiten charakterisirt?      Ich glaube, die richtige Antwort hierauf ist, dass dieser den Wahrheiten der Mathematik zugeschrie- bene Charakter von Nothwendigkeit und (mit einigen sp�ter zu machenden Vorbehalten) sogar jene eigent- h�mliche Gewissheit eine Illusion ist, zu deren St�tze es n�thig ist anzunehmen, dass jene Wahrheiten sich nur auf imagin�re Gegenst�nde beziehen, und nur Ei- genschaften von solchen ausdr�cken. Es ist bekannt, dass die Schl�sse der Geometrie zum Theil wenig- stens, von sogenannten Definitionen abgeleitet sind, und dass von diesen Definitionen angenommen wird, sie seien, soweit sie gehen, correcte Beschreibungen der Gegenst�nde, womit sich die Geometrie besch�f- tigt. Aus einer Definition als solcher kann nun kein anderer als auf ein Wort Bezug habender Satz |folgen, und das, was anscheinend aus einer Definition folgt, folgt in Wahrheit aus der darin eingeschlossenen An- nahme, dass ein ihr entsprechendes reales Ding exi- stirt. Diese Annahme ist aber bei den Definitionen der Geometrie falsch; es existiren keine den Defini- tionen entsprechenden realen Dinge. Es giebt keinen Punkt ohne Gr�sse, keine Linie ohne Breite, oder auch nur eine vollkommen gerade Linie; es giebt keine Kreise mit genau gleichen Halbmessern, oder Quadrate, die vollkommen rechtwinklig w�ren. Woll- te man mir einwenden, dass sich die Annahme nicht auf die wirkliche, sondern nur auf die m�gliche Exi-  stenz solcher Dinge erstreckt, so w�rde ich erwie- dern, dass, soweit wir die M�glichkeit erproben k�n- nen, dieselben nicht einmal m�glich sind. Soweit unser Urtheil reicht, w�rde ihre Existenz mit der phy- sikalischen Constitution unseres Planeten wenigstens, wenn nicht mit der des Universums, unvertr�glich sein. Um diese Schwierigkeiten loszuwerden, und um zugleich den Credit des Systems von nothwendigen Wahrheiten zu retten, pflegt man gew�hnlich zu sagen, dass die Punkte, Linien und Quadrate, die der Gegenstand der Geometrie sind, nur in unserer Vor- stellung existiren, und dass sie ein Theil unseres Gei- stes sind, so dass der Geist aus seinem eigenen Mate- rial a priori eine Wissenschaft aufbaut, deren Evi- denz bloss geistig ist und mit unserer �ussern Erfah- rung nichts zu schaffen hat. Dieser Lehre m�gen hohe Autorit�ten ihre Beistimmung gegeben haben, sie scheint mir aber dennoch, psychologisch betrachtet,